Dit is de tweede CD geproduceerd aan de Vrije Universiteit Brussel in het kader van het Wiskundig EXPLOOT project van het Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, in samenwerking met de Hogeschool Antwerpen en de Erasmus Hogeschool Brussel.
De documenten op deze CD zijn gegroepeerd in drie mappen:
Elke map omvat lesinhouden over:
Elk van deze documenten wordt daarom aangeboden in drie formaten:
als actief document voor gebruikers van de betreffende software, en
in twee formaten om gelezen te worden. Deze laatste zijn niet langer
actief, en kunnen ook niet gewijzigd worden.
De documenten in formaat .nb op deze CD zijn allemaal geschreven in het symbolisch wiskunde pakket (CAS of computer algebra systeem) Mathematica. Het zijn zonder uitzondering actieve documenten waarmee verder geëxperimenteerd kan worden en die mits bronvermelding onbeperkt aanpasbaar zijn door alle gebruikers die beschikken over het pakket Mathematica, versie 3 of 4. Zie http://www.wolfram.com/ voor informatie over de mogelijkheden van dit software pakket. De bijgevoegde documenten zijn een leerpad om snel te leren werken met dit geïntegreerd pakket.
Een groot deel van het materiaal is in html vorm omgezet op de
website van het project:
http://www.vub.ac.be/exploot
Volledigheidshalve zijn deze files ook onder deze vorm opgenomen op
de CD. Hierdoor kan de lezer zijn verbindingskosten verminderen omdat
men deze documenten "off-line" kan raadplegen met de gewone browser
software. Ook voor wie niet permanent beschikt over een internet
aansluiting kan dit nuttig zijn.
De blauw onderlijnde hyperlinks volgen de paragrafenstructuur van de
teksten. De animaties lopen automatisch indien men de cursor op de
tekening plaatst. Hiervoor moet men wel kunnen beschikken over een
recente versie van de browser met Java mogelijkheden.
Voor diegenen die (nog) niet beschikken over het pakket Mathematica zijn ook nog RO-documenten in read-only formaat bijgevoegd [... RO.nb ]. Deze bevatten alle uitvoer en kunnen gelezen worden met het gratis pakket MathReader, dat voor alle besturingssystemen bekomen kan worden door downloaden vanaf de site http://www.wolfram.com/products/mathreader/ Na installatie van MathReader op de eigen computer worden na open-klikken de documenten meteen leesbaar. MathReader laat animaties toe (door open-klikken op de groep grafische cellen, of via het menu "animate selected graphics"). Gebruik de controlebalk (zoals op video) om desgewenst de animatie aan te passen.
Typisch voor het "notebook" .nb formaat van deze documenten is de opdeling ervan in een hiërarchische structuur van cellen. Om de inhoud van een cel te zien volstaat open-klikken op de celhaak rechts in het document. Sluiten kan eveneens door klikken op de celhaak. Aan beginners wordt aangeraden de cellen te openen in volgorde; later kan men selectief groepen cellen actief maken op voorwaarde dat alle definities in de goede volgorde worden ingevoerd.
Afdrukken kan op elke printer; de grafieken zijn glad op postscript printers. Sommige RO documenten zijn te omvangrijk om in hun geheel af te drukken. Dit is ook een reden om het materiaal bij voorkeur op web-site en CD uit te brengen. Het is zeker niet de hoofdbedoeling van het project gedrukte documenten af te leveren want deze zijn door hun aard steriel en laten geen nieuwe experimenten toe, terwijl het gebruik van een CD met CAS of computer algebra systeem op computer precies aanzet tot experimenteren.
De opstellers zijn er zich van bewust dat ook in deze tweede versie van de CD nog tal van onvolkomenheden voorkomen, die slechts dank zij uitvoerig testen zullen weggewerkt worden, en danken bij voorbaat gebruikers die commentaar of opmerkingen doormailen.
Hebben meegewerkt aan het tot stand komen van dit materiaal:
Ivan Cnop
Tom Deneckere
Annemie Luyten
Hania Uscka
Frank Valckenborg
en Joke De Bock.
Mail adres: alle correspondentie dient gestuurd aan de respectieve auteurs van de teksten: hania@wehlou.com , tdenecke@vub.ac.be, fvalcken@vub.ac.be of icnop@vub.ac.be.
Volgende modules laten een snelle opleiding in het gebruik van de CAS software Mathematica toe:
Grafisch werken met Mathematica [I. Cnop].
Omdat het visuele aspect in de experimenten zo belangrijk is wordt
eerst een les aangeboden die een overzicht geeft van de grafische
mogelijkheden (inclusief animatie en kleur) van de CAS en die de
interne voorstelling van grafische objecten in Postscript formaat
uitlegt. Praktijklessen met oefeningen laten toe dit meteen in te
oefenen.
Symbolisch werken met Mathematica [I. Cnop].
In deze les wordt de nadruk gelegd op het rekenen met symbolen en de
onbeperkte mogelijkheden wat betreft precisie in de CAS. Complexe
getallen, vectoren, matrices, lijsten en andere gestructureerde
objecten worden ingevoerd. Dit symbolisch en benaderend werken wordt
meteen ingeoefend in een praktijkles.
Functies [I. Cnop].
Functies zijn het basisblok voor de opbouw van de taal en voor de
programmatuur in deze CAS. De rol van veranderlijken, en het effect
van het herhaald toepassen van functies wordt uitgelegd. In een
eenvoudige praktijkles worden reeds zeer krachtige toepassingen
bekomen, bijvoorbeeld het genereren van fractalen.
Programmatuur [I. Cnop]
De Mathematica software is een zeer volledige programmeeromgeving. Er
wordt een overzicht gegeven van verschillende programmeerstijlen, die
alle uitgewerkt kunnen worden in deze CAS. Daarna wordt een inleiding
gegeven die snel programmeren mogelijk maakt in deze CAS. De
praktijkles toont de kracht van de programmeeromgeving, en
illustreert belangrijke aspecten zoals het lijst-geöriënteerd
programmeren en de onafhankelijkheid van types.
Simulatie [I. Cnop]
Bij veel problemen en experimenten moet toeval worden ingebouwd. Dit
gebeurt via de ingebouwde Random generator. Deze kan dan meteen
gebruikt worden om willekeurige keuzes in wiskundige constructies te
simuleren. Dit maakt een veel snellere invoering van kanstheorie en
benaderingen in het curriculum mogelijk. De gebruikers kunnen
experimenteren met de aangeboden kansspelen, of eventueel zelf
varianten op deze spellen uitwerken.
Nog enkele nieuwe practica werden bijgevoegd.
Dankzij de beschikbaarheid van deze modules kan de leertermijn voor Mathematica aanzienlijk worden ingekort. Een zorgvuldige tekstopmaak is belangrijk in wiskundige en wetenschappelijke teksten en kan volledig gebeuren in dit pakket. Het gebruik van paletten, en het gebruik van verschillende document stijlen vergemakkelijkt de tekstopmaak voor diegenen die beschikken over deze software.
De modulaire opbouw van elk programma kan als voorbeeld gesteld worden voor de studenten informatica en industrieel ingenieur wat hun informatica-opleiding betreft.
Differentiaalvergelijkingen van eerste orde : "koffie en verval" [Tom
Deneckere].
De module "koffie en verval" vertrekt van de experimenteel gemeten
waarden bij de afkoeling van een kop koffie om exponentialen met
negatieve exponent in te voeren. Ook verschillende andere problemen
waar deze eveneens aan bod komen worden uitgelegd, zoals forensisch
onderzoek, datering in archeologie en radioactief verval, met telkens
aandacht voor de foutberekening. Het geval van niet-homogene
differentiaalvergelijkingen bekomt men door het experiment te
hernemen in een niet-constante omgevingstemperatuur. Uiteindelijk
komt men tot de problemen van demping van een signaal in een
electronisch circuit. Ook andere toepassingen zijn mogelijk, als ze
kunnen worden teruggebracht tot een eerste orde differentiaalvergelijking.
Discrete dynamische systemen [Tom Deneckere]
Een tweede module "lineaire recursie" vertrekt van een eenvoudig
probleem zoals het mixen van drankjes om discrete dynamische
processen in vergelijking te brengen met matrices. De problemen van
lineaire recursie worden herleid tot de studie van eigenwaarden en
eigenvectoren van de bijhorende matrix. Dit laat een algemene
classificatie toe gebruik makend van de eigenwaarden van de
betreffende matrix en een ontbinding van de ruimte volgens de
eigenvectoren laat toe lange termijn tendensen in dergelijke
problemen te analyseren.
Op die manier legt deze module een toepassingsgerichte basis voor de
lineaire algebra. Hieruit vertrekkend kan men verschillende theorieën
opbouwen: eerst en vooral de theorie van stelsels van
differentiaalvergelijkingen, maar daarnaast kunnen, uitgaande van dit
materiaal, op een heel natuurlijke wijze links gelegd worden met de
theorie van de Liegroepen en de chaostheorie.
Eenvoudige dynamische systemen 1 [Frank Valckenborgh]
In deze reeks lessen wordt ingegaan op enkele elementaire wiskundige
modellen die gebruikt kunnen worden voor de beschrijving van diverse
fenomenen die zich in de realiteit kunnen voordoen. Het eerste model
kan gebruikt worden voor de beschrijving van een bevolkingsexplosie
(de wet van Malthus). Een meer realistische aanpassing van dit model
levert de zogenaamde logistieke vergelijking (bestudeerd door de
Belgische wiskundige F. Verhulst). De invloed van beginwaarden wordt
onderzocht, evenals de invloed van de parameters die optreden in de
vergelijking. Tevens worden de oplossingen kwalitatief onderzocht.
Enigszins merkwaardig is het feit dat ook in de moderne samenleving
een aantal nieuwe fenomenen zoals, bijvoorbeeld, modetrends en het
doordringen van nieuwe technologie eveneens beschreven kunnen worden
door dit model. Dit wordt geïllustreerd aan de hand van de mogelijke
verspreiding van GSM toestellen.
Eenvoudige dynamische systemen 2 [Frank Valckenborgh]
In deze tweede reeks modellen bestuderen we wat kan gebeuren indien
in de vorige modellen een externe component wordt bijgevoegd, onder
de vorm van een bronterm, zodat we een zogenaamde niet-homogene
vergelijking verkrijgen. Verrassend is dat in sommige gevallen de
oplossingen kwalitatief wijzigen indien dergelijke term aanwezig is.
Zo is het bijvoorbeeld niet meer zeker dat een populatie die zonder
externe factoren beantwoordt aan het logistiek model, dit nog zal
doen wanneer externe factoren een rol spelen. Dit verklaart dan ook
waarom het volledig verdwijnen (uitsterven van een populatie) kan
afhangen van de beginvoorwaarden.
Eenvoudige dynamische systemen 3 [Frank Valckenborgh]
Hier wordt een overzicht gegeven van diverse experimenten die
aanleiding geven tot een relatief eenvoudige (lineaire of
niet-lineaire) differentiaalvergelijking van de tweede orde. We
beginnen met een klassiek model: de wiskundige beschrijving van de
slingerbeweging. Dit model vinden we dan later terug onder
verschillende vormen. Er wordt verder geïllustreerd welke mogelijke
kwalitatieve verschillen kunnen optreden bij het aanbrengen van
externe invloeden. Tenslotte worden de mogelijke bewegingen ook
voorgesteld in het fasevlak.
Stelsels Differentiaalvergelijkingen[Frank Valckenborgh]
Hier wordt het verband gelegd tussen tweede-orde
differentiaalvergelijkingen en stelsels van twee eerste-orde
differentiaalvergelijkingen. Diverse modellen die aanleiding geven
tot een stelsel van dergelijke vergelijkingen worden gepresenteerd
vertrekkende van experimenten gegrepen uit verschillende sectoren van
de samenleving: economie, geneeskunde, .... De theorie blijkt
gelijklopend met die van de voorstelling in het fasevlak van de
oplossing van een differentiaalvergelijking van de tweede orde.
Omwille van de omvang werd dit document opgesplitst in verschillende
eenheden op de website die met het project geassocieerd is. Elk van
de eenheden behandelt een klasse van verwante experimenten.
Dit materiaal over differentiaalvergelijkingen is bruikbaar in de eerste jaren van het hoger onderwijsen ten dele ook in de laatste jaren van het secundair onderwijs.
Complexe getallen [Hania Uscka]
Complexe getallen worden op een speelse manier ingevoerd zonder
gebruik te maken van een uitgebreide kennis van de goniometrie, en de
link met de vlakke meetkunde wordt gelegd. Dankzij meetkundige
eigenschappen kunnen een groot aantal transformaties in het vlak
experimenteel getoond worden. Bij de programmatuur van de
experimenten werd de presentatie extra verzorgd. Animatie en kleur
worden gebruikt wanneer zij kunnen bijdragen tot het inzicht in de
aangebrachte concepten.
Complexe veeltermen [Hania Uscka]
Deze module toont hoe men vertrekkende van cirkelvormige bewegingen
in het vlak nieuwe figuren kan maken. De bewegingen zijn niets anders
dan deze van een robot met een meermaals gelede arm en vaste
overbrengingsverhoudingen. De opbouw gebeurt volledig met animaties
in kleur. Bovendien wordt de link met de theorie van de
veeltermfuncties uitgelegd. De module toont verder hoe de wortels van
veeltermen zich gedragen wanneer de coëfficiënten wijzigen. Dit
levert de nodige basiselementen voor de invoering van de discrete
Fouriertransformatie, die efficiënt geïmplementeerd is in de
gebruikte software. Deze laatste transformatie is de basis voor een
groot aantal compressietechnieken en systemen voor ruisonderdrukking.
Deze veeltermen zijn bovendien dezelfde als deze die in de theorie
van de benadering met Fourierreeksen worden gebruikt. Een groot deel
van de theorie kan worden uitgelegd hiermee en de toepassingen van de
Fourierreeksen in continue beeldverwerking worden de volgende stap in
de technologische toepassingen.
Door de grote omvang van dit document was het nodig de leesversie op
te splitsen in RO1, RO2, RO3 en RO4, met elk een deel van de cellen
uitgewerkt.
Een volgende module in deze reeks zal gaan over "Meetkundige eigenschappen en differentiaalvergelijkingen", maar is nog niet volledig afgewerkt en daarom niet opgenomen. Hier zullen enkele meetkundige eigenschappen in het vlak herhaald worden en zal de link gelegd worden met de differentiaalvergelijking opgesteld voor de harmonische beweging. Deze aanpak dekt een groot deel van de inhoud goniometrie in klassieke curricula en maakt veel sneller de overgang mogelijk naar dynamische systemen met oplossingen die een rotatie-component hebben. Geïnteresseerden kunnen nu reeds contact opnemen met het project om delen van deze module te verkrijgen.
De geleverde modules bevatten nieuw materiaal dat nog niet eerder onder deze vorm werd uitgebracht. Dit materiaal is bruikbaar in de eerste jaren van het hoger onderwijs en deels ook in de laatste jaren van het secundair onderwijs. Annemie Luyten heeft haar medewerking hieraan verleend om de modules aan te passen aan het courante taalgebruik.
Er werden nog enkele lesinhouden bijgevoegd als voorbeeld voor docenten die het pakket willen gebruiken in eigen onderwijs. De voorgestelde syntax kan door kopiëren vlot worden gebruikt voor andere toepassingen en concepten.
De omzetting van de documenten naar de web-site en de technische productie van de CD werden uitgevoerd door Joke De Bock, studente, in samenspraak met de overige medewerkers. Zij heeft in die korte tijdspanne die haar werd toegemeten werk kunnen afleveren dat aantrekkelijk overkomt. Bijkomende dank gaat naar het VUB-lab Programmeerkunde voor de bruikleen van hardware.
Ivan Cnop, VUB, projectcoordinator